Рано или поздно догадается, конечно, но отнюдь не сразу - на существующих фактах (Дамблдор оттолкнул Барти, Дамблдор сбросил палочку Фоуксу) куда более вероятной выглядит гипотеза "старый хрыч что-то знает о Арке", а "это та самая палочка из старых легенд" идет где-то наравне с "бородатый лицемер сотворил себе крестраж из, хм, собственной палочки".

Для того, чтобы хотя бы предположить, что это была именно та палочка - нужно а) хотя б наполовину догадаться, что в этой сцене имеет значение; б) тупо знать о существовании палочки.

После этого уже можно отправляться воровать-убивать Олливандера, Грегоровича и Гриндевальда, узнавать о тонкостях перехода палочки из рук в руки и авадить Барти.