Родившемуся в волшебной или смешанной семье можно. С маглорожденными сложнее, потому что им, видимо, вообще не сообщают, что можно отказаться и что существуют другие школы. Плюс финансовый вопрос, вопрос языка и вопрос расстояний. Обязательным обучение в школе назвали только при Волдеморте, что тоже намекает. Да вы вспомните, что последние Гонты Хогвартса не посещали.

Глава! Весь остальной Визенгамот на Хогвартс не влияет.

Министерство назначило Амбридж сначала инспектором, до этого Хогвартс не инспектировали (а надо бы). Потом при живом(!) директоре Амбридж назначили директором Хогвартса. Поэтому «школа не приняла» — директор уже есть. Снейп стал директором после смерти предыдущего директора. Простая механика.