Палпатин1, толковые словари, в отличие от филологов откровенно белоленточного толка, трактуют "присаживаться" и "садиться" как синонимы. И приводят пример употребления:
"Монс присаживался за стол к доброй компании" А.Н Толстой.
Как видим, Монс присаживается не на корточки и не на край чего-либо, а к чему-то или кому-то. Приставка "при-" может означать не только неполноту действия, но и приближение. Так что употребление "присаживайтесь" в значении "присоединяйтесь к нам за столом" словарями отнюдь не воспрещается.