>Все три представленных Вами подмножества состоят из одного и того же количества элементов.
Мы, кажется, друг друга не понимаем.
Мною было представлено *два* подмножества одного множества (отрезка):
- {0.25} — множество, состоящее из *одного* элемента "одна четвертая";
- {0.5; 0.75} — множество, состоящее из *двух* элементов "половина" и "три четверти".

(Upd: следующий абзац содержит некоторые мелкие ошибки, но на суть они вроде бы не влияют, а исправлять я не буду — пусть все читают и смеются.)

Что же касается прямых, отрезков и лучей — тут мною сделано предположение, что мы все-таки пользуемся биективным способом сравнения мощности множеств. (Потому что кардинальные числа, во-первых, сильно сложнее, а во-вторых, их бы точно упомянули в тексте :) Так вот, на луче на одну точку больше, чем на прямой (если его конец не "выколот"), а на отрезке — на две точки (и тут никаких "если", потому что у отрезка без концов есть свое название "интервал").

(все, что выше, написано до изменения комментария)

> Точка - это отрезок бесконечно малой длины. И любая комбинация конечного количества точек - тоже будет отрезком бесконечно малой длины. А вот если отрезок имеет конечную длину - то он состоит из бесконечного количества точек.
Множество, состоящее из двух разных точек прямой (или отрезка), "отрезком" называться никак не может, потому что этому множеству не принадлежат точки, находящиеся между двумя его "концами". А так, если переформулировать это в терминах меры на прямой или отрезке — то да, верно. Но никак не относится к предмету разговора.

> Одна точка не является "конечным подмножеством континуума"
о_О
То есть как это?
Вот возьмем множество А = "множество точек, лежащих на прямой".
Возьмем множество B = "множество, единственным элементом которого является точка ноль на этой прямой".
И вы мне хотите сказть, что B не является подмножеством A?

И да, я прошу прощения за занудство, но уж больно резануло глаз такое аж во втором абзаце :(