Calmius
Думаю теоретически ту же функцию, что и в магловских Британских школах:
назначает директора школы и имеет решающий голос в назначении остального административного персонала;
следит за работой и развитием школы как учебного заведения;
играет важную роль в предоставлении средств для нового оборудования.

Но директор у нас сам великий человек Дамблдор, поэтому Попечительский совет не может ничего. Даже если Альбус будет в большом зале Хогвартса приносить учеников в жертву Кхорну, все сделают вид, что ничего особенного не происходит.