Насчёт началки не знаю, а в средней наш вуз часто звал магистрантов. Закрыть вакансию посреди учебного года и впрямь непросто, поэтому школы часто обращаются к педагогическим вузам. Студенты магистратуры уже имеют право вести уроки в школе. Часто бывает, что магистрант или не нашел работу, или вообще не искал, поэтому охотно откликается, благо, все справки у него обычно уже есть, только 086-ю обновить остаётся.
Ещё "сарафанное радио" по выпускникам запускают, вдруг кто сидит без работы. Тут же двойное попадалово: для школы сложно, если педагог ушел посреди года, а для учителя хреново, если летом никуда не успел приткнуться. Кто-то только выпустился, кто-то из затянувшегося декрета вышел, кто-то решил школу сменить; обычно такие "непристроенные" тоже трясут родной вуз, мол, если где что - пните сразу, я без работы сижу!
В началку раньше вроде колледжи готовили? Можно связаться с их представителями в соцсетях и попросить потрясти выпускников.