(обсуждение целиком не читала)
Поднялся (куда?) наверх/чуть выше/на второй этаж.
Поднялся (как?) по лестнице/на лифте.
Иногда не нужно "как", иногда "куда", а бывает нужно и то и другое. У вас всё в порядке со стилистикой, пишите как считаете нужным. Зачем слушать вредные советы?
В слове "поднялся" не заложено дополнительных смыслов, их нужно уточнять. Потому что предложение "Он обошёл первый этаж дома и, не обнаружив сундука с сокровищами, поднялся" звучит незавершенным и вызовет у читателей закономерные вопросы.
Поднялся наверх - абсолютно нормальная в общем, и совершенно правильная в данном конкретном* случае конструкция, которая не вызывает вопросов: поскольку упомянут первый этаж, понятно, что герой поднялся на второй (этаж "куда" не уточняется - логично предположить, что их только два).

* А вот это тавтология, но мне она нравится))