Все проще. "Третье" - в принципе единственное числительное, которое ложится в ритм. Во всех остальных как минимум три слога.
Ну, можно было придумать что-то вроде "Я календарь переверну - и вновь второе сентября", но, видимо, первой пришла строчка "и снова", и там без вариантов, дальше только "третье" подойдет. К тому же, "третье" наиболее красиво перекликается с "сентября" (сплошные е-я, т-р). Во всех остальных числительных неизбежно вклинится "о" и испортит гармонию созвучия