Dafne, в этой ситуации канон и хэдканон идут несколько вразрез. По канону Дамблдору и в голову не пришло усомниться в виновности Блэка, потому он и не проводил расследование. В моем же хэдканоне Дамблдор если даже и не знал, то сильно подозревал, что Блэк ни при чем. Директор не видел пользы в Сириусе и потому отправил его в Азкабан просто чтобы не мешался, полагая, что в своем заключении в тюрьму в известной степени сам Сириус и виноват. И по этой же причине не предпринял никаких действий для выяснения подлинного виновника во взрыве, после которого исчез Петтигрю. Снейп идеально подходил для целей директора, потому-то его от тюрьмы и отмазали. Ничего личного, исключительно в интересах дела.