Да, "положив" тоже нормально. Просто там, в тексте, Гарри совершал два действия одновременно: "ложа письмо под подушку и думая при этом, что..." Поэтому, если "кладя", то эта одновременность остаётся. Но вообще да, "положив", возможно, благозвучнее.
Уважаемый автор, извините за флуд.