Анонимный автор
Если бы вы заменили первое лицо на третье, такого ощущения бы не было.

Но это ваше решение, конечно.
Просто вот так читать было бы приятнее:

"- Господин директор! – Name решила начать разговор с порога, не отвлекаясь на чаепитие. – Это… ваша ошибка.
- И в чём же, по-вашему?
- Не в чем… А в ком! - Name нервно сглотнула, - Этот новый профессор… Снейп!"