И нет, без заведения дела _нельзя_ вести расследование, это должностное преступление. И в свободное время нельзя. Они полицейские/милиция/авроры 24 часа в сутки, 365 дней в году.

Хотят - пусть увольняются, открывают агентство и расследует что хотят. Но без возможностей государства.

Или. Если уж им так хочется поймать старшего Эйвери. Есть же варианты - завести дело (мы уже знаем как это делается без заявления) и засекретить его, это раз. Завести _другое_ дело, менее значимое, 'о пропавшем без вести маглорожденном неподалёку от замка Эйвери' и тоже расследовать его, это два.

Зачем же закон-то сразу нарушать?)