Обычно самое крупное наследство принадлежит роду и им распоряжается глава - это если вообще не майорат, при котором только глава всем и владеет, а остальным - шиш. Кроме того, Вальбурга на момент заключения Сириуса жива, и, учитывая их отношения, как раз из того имущества, которым она владела лично, он не получит ни шиша. Она скорее Кричеру оставит, чем Сириусу.
По канону - где-то между выпуском в 78-м и заключением в 81-м дядя Альфард оставил Сириусу домик и немного денег - и это всё.

Как раз для традиционалистов характерным образом мышления является "человек ничто, клан всё". А Сириус - единственный и безальтернативный наследник по прямой линии. Как раз для "традиционалистов" он никем быть не может, каким бы он ни был сам по себе.
Ситуация потом может измениться (Сигнус еще раз женится, у Сириуса сын появится, который и наследует всё в обход папы и т.д.), но пока Бродяга-Мягколапый - единственная надежда Блэков на сохранение Дома.
Так что контакты с прицелом взять под контроль в той или иной степени и обтесать под задачу быть обязаны.