Вы читали первую часть? Кхм... Думается мне, нет... Хорошо, если Вы не поняли, объясняю... Гарри - сын Снейпа и Лили. Любовь- лишь её реинкарнация. Гарри Поттер, потому что все считали его сыном Поттера в том числе и Лили.
"почему Гарри до 8 лет жил не с ним и даже не с Джеймсом?"
Джеймс мёртв. Но, как и в каноне, Снейп считал Гарри сыном Поттера.
Я достатоно объяснила или всё ещё что-то не ясно? Спрашивайте...