Есть ещё выражение с подобным значением: " наширмачка".

Нет, никогда. Но встречалось "дурные деньги" в значении "случайно пришедшие".
И именно всё с вариантом "дурак, дурное" как случайное, нежданное, а не бесплатное. Это выражение, скорее всего, происходит от бильярдного термина "дурака\дурняка забить\загнать", когда случайно загоняют в лузу незапланированный шар.