Хогвартс автономен. Но и какой-то отдел образования в Министерстве есть )))
Наблюдения:
1. Второй курс, выбор дополнительных предметов. Рон упоминает, что предоставление вакансий зависит от изученных предметов. Это подтверждается при выборе предметов на продвинутый курс - в академию аврората берут только с определенными ТРИТОНами.
2. Экзамены принимает министерская комиссия.
3. Часть учеников обучаются на дому или в других школах.
4. При рассказе о Трелони Дамблдор говорит, что "не был уверен, нужен ли в Хогвартсе такой предмет, как Прорицания".
Выводы: если бы образование зависило только от Хога, то государственные аттестаты были бы нафиг не нужны. На работу брали бы в любом случае, опционально обучая необходимому. То есть, министерство все же имеет некоторый контроль над образованием, выставляя некоторые требования к знаниям, которые школа должна предоставлять. Но при этом Дамблдор как директор имеет всю полноту власти при выборе преподаваемых предметов. Просто если он откажется от необходимого, то выпускников Хога никуда не возьмут на работу, вот и все.
И далеко не факт, что можно сдавать экзамены только по тем предметам, которые изучают в Хогвартсе. К примеру, Дурмштранг обучает Темным Искусствам и СОВ/ТРИТОН в Болгарии они по этому предмету сдают. Что можно сдавать в Британии кроме хогварского курса и можно ли, в каноне не упоминалось.
Но сдавать экзамены можно и после домашнего обучения. Так что Хогвартс для получения образования необходимым не является, обладает всей автономией власти частной школы... а отдел образования есть, хоть и решает он только степень соответствования преподаваемых молодым волшебникам знаний требованиям Министерства.

Что до Амбридж, то ее "методички" не имеют никакого отношения к отделу образования - она полностью отказалась от практики заклинаний на уроках ЗоТС, но министерские экзаменаторы практический материал спрашивали все равно. Так что все эти "методички" были не более чем попыткой рейдерского захвата Хогвартса Министерством. И Дамби де-юре вполне мог послать Амбридж лесом... правда, де-факто это означало бы юридические санкции против него и учеников по надуманным причинам - на тот момент шли крупные подковерные разборки между ним и Министром. ДДД решил не обострять ситуацию.

вы нашли то слово которое я искала - рейдерский захват
сэнкью

Добавлю и свое лыко... Мне почему-то кажется, что у мадам Роулинг не стояло задачи отобразить всю структуру министерства - за кадром (за текстом) вполне могли остаться какие-то подразделения. Например, когда Поттеру и семейству Уизли предоставлялась министерская машина для поездки на вокзал - вряд ли это было арендованное такси... Значит, в структуре министерства мог быть транспортный отдел.

"А теперь послушаем начальника транспортного цеха..."

Ханс Корн, какие пять копеек? Только пять кнатов - "И никак иначе".

Семен Семеныч, вы таки да уверены, что в магмире валюта унитарна и территориально независима?

Ханс Корн, я-то как раз ни в чем не уверен и во всем сомневаюсь - просто пытаюсь копировать манеру ведения спора у некоторых обитателей фандома. :))
А вас подцепил просто из вредности, да и речь в вопросе автора шла все-таки о Британии.

Семен Семеныч, но я-то немец совецкого производства и с еврейскими корнями ))) Да и дискуссия, хоть и относится к Британии, но происходит не в ней. Так что вставлять можно хоть гроши, хоть юани.

Договорились, остановимся на шекелях...

на агорот, если уж на то дело пошло :)