Хогвартс автономен. Но и какой-то отдел образования в Министерстве есть )))
Наблюдения:
1. Второй курс, выбор дополнительных предметов. Рон упоминает, что предоставление вакансий зависит от изученных предметов. Это подтверждается при выборе предметов на продвинутый курс - в академию аврората берут только с определенными ТРИТОНами.
2. Экзамены принимает министерская комиссия.
3. Часть учеников обучаются на дому или в других школах.
4. При рассказе о Трелони Дамблдор говорит, что "не был уверен, нужен ли в Хогвартсе такой предмет, как Прорицания".
Выводы: если бы образование зависило только от Хога, то государственные аттестаты были бы нафиг не нужны. На работу брали бы в любом случае, опционально обучая необходимому. То есть, министерство все же имеет некоторый контроль над образованием, выставляя некоторые требования к знаниям, которые школа должна предоставлять. Но при этом Дамблдор как директор имеет всю полноту власти при выборе преподаваемых предметов. Просто если он откажется от необходимого, то выпускников Хога никуда не возьмут на работу, вот и все.
И далеко не факт, что можно сдавать экзамены только по тем предметам, которые изучают в Хогвартсе. К примеру, Дурмштранг обучает Темным Искусствам и СОВ/ТРИТОН в Болгарии они по этому предмету сдают. Что можно сдавать в Британии кроме хогварского курса и можно ли, в каноне не упоминалось.
Но сдавать экзамены можно и после домашнего обучения. Так что Хогвартс для получения образования необходимым не является, обладает всей автономией власти частной школы... а отдел образования есть, хоть и решает он только степень соответствования преподаваемых молодым волшебникам знаний требованиям Министерства.

Что до Амбридж, то ее "методички" не имеют никакого отношения к отделу образования - она полностью отказалась от практики заклинаний на уроках ЗоТС, но министерские экзаменаторы практический материал спрашивали все равно. Так что все эти "методички" были не более чем попыткой рейдерского захвата Хогвартса Министерством. И Дамби де-юре вполне мог послать Амбридж лесом... правда, де-факто это означало бы юридические санкции против него и учеников по надуманным причинам - на тот момент шли крупные подковерные разборки между ним и Министром. ДДД решил не обострять ситуацию.