Давайте начнём с того, что мы хотим сохранить свою жизнь всеми доступными способами, так что признаем её бесконечно ценной для нас. Следует ли из этого необходимость жать на кнопку как можно быстрее, убирая дамоклов меч со своей шеи (в мире с многими кнопками)? Как мне кажется, нет.
Я мог бы достаточно долго расписывать причины того, что кооперация выгодна и всё такое, но зачем пояснять очевидное? Достаточно указать на то, что в описываемой ситуации в сетке решений всё так же четыре исхода, пусть последний и просто запускает ситуацию заново. В итоге, даже если мы выживаем, мы теряем всех своих знакомых (и, возможно, ещё и все деньги), что явно не смотрится эффективным.
Итак, ситуация может закончиться четырьмя исходами:
1) Мы отказались нажимать на кнопку и знакомый отказался нажимать на кнопку. Устраивающий выход.
2) Мы отказались нажимать на кнопку, в отличие от знакомого. Не подходит.
3) Мы решили нажать на кнопку и успели. Так как ситуация запустилась с начала, по индукции - все наши знакомые умерли. Меня бы такой вариант не устроил, так что примем его не подходящим под критерии.
4) Мы решили нажать на кнопку, но не успели. Не подходит тоже.
То есть, единственный позитивный исход - в случае отказа. Для меня, по крайней мере. С другой стороны, я убеждён, что для вас ситуация, в которой все ваши знакомые умерли, а любое новое знакомство ставит вас на грань смерти, тоже не является нормой.

Байзэвэй, мир, подчиняющийся правилу кнопки, смотрится довольно интересным. Все пользуются кличками, раскрытие настоящего имени является жестом истинного доверия, перед знакомством с некоторыми людьми требуется пройти серию тестов на рациональное мышление и теорию игр… Хм-м, я бы почитал.