Что касается того, знал ли Дамблдор при первой встрече с Томом, что он - Гонт , мне кажется, тут 50/50. Я склоняюсь к тому, что в тот момент не знал, но после встречи с мальчиком стал за ним наблюдать и потихоньку выяснять информацию о его рождении и родителях и связывать полученную информацию в логическую цепочку. Близость усадьбы Реддлов и лачуги Гонтов, воспоминание Огдена о происшествии, после которого отца и сына Гонтов отправили в Азкабан (тут он узнает, что Меропа была влюблена в Тома Реддла); слухи в деревне о побеге красавца Тома с дочерью бродяги и после его возвращения домой и рассказов Тома о том, что его обманули, завлекли; воспоминания Карактака Бэрка о покупке медальона Слизерина у молоденькой чародейки, которая была в лохмотьях и беременна. Наверное, эту информацию он собирал по крупицам и не один год.

А про книгу, в которой появлялись имена детей-волшебников написано так на ГПвики: "В определенный момент, когда ребёнок начинает проявлять признаки магии, Перо, по легенде взятое у авгурея, выплывает из чернильницы и пытается вписать имя этого ребёнка на страницы Книги. Те немногие, которые наблюдали процесс (некоторые директора и директрисы, любившие проводить свободные часы в Башне Книги и Пера, согласятся, что сила Пера считается более снисходительной, чем сила Книги. Простое дуновение магии способно удовлетворить Перо. Однако, Книга часто захлопывалась, отказываясь записывать имя ребёнка, пока не получены достаточно впечатляющие доказательства магических способностей". Я не знаю откуда эта информация и можно ли ей полностью доверять. Но из того, что там написано следует, что в книге появлялись только имена детей, но не родителей. Как узнавали, где живут маглорожденные дети-волшебники - тоже ничего нет.
В вопросе, который вы задали, Алтея, похоже, каждый сам решает для себя, какой вариант ему больше нравится.)