Вообще, Сириус идеально вписывается в троп "трагическая импульсивность". Он сначала делает, потом думает. Если бы Питер не провернул свой фокус, Сириуса всё равно бы посадили за убийство. Потому что никто не знал, кто сдал Поттеров. Сириус сам себя подставил жаждой правосудия. Что мог сделать Дамблдор в такой ситуации? Если я правильно помню канон, ОФ действовал независимо от ММ, за что его членов вряд ли бы погладили по головке. И даже если бы Дамблдор сказал, если бы он знал, что Хранителем был Питер, что Сириус фениксовец, всё равно бы было расследование.