XOR
> На сколько я помню определения, сумма ряда - предел последовательности его частичных сумм

Нет-нет, как раз в ту сторону. Определение предела задаётся как верхняя граница последовательности сумм.

> В рациональных же 0.(9) - это десятичная запись дроби 9/9

Неверно. Десятичная запись дроби 9/9 — это 1.

А 0.(9) — сокращение в "десятичной записи" алгоритма построения десятичной дроби, состоящей из бесконечного числа девяток после запятой

И нет, "доказательство" через (9 * 1/9) не работает именно потому, что предел последовательности — не равен полной сумме, и запись вида 1/9 = 0.(1) — не равенство, а ссылка на алгоритм построения частного значения некоторой дроби для заданного наперёд числа десятичных знаков. С алгоритмом — нельзя обращаться точно так же, как с конечным числом.

Если совсем наглядно, то 1/9 := 0.(1) — правильно, а вот 1/9 == 0.(1) — это type exception.