XOR
> десятичная дробь содержит бесконечное количество девяток

Бесконечное — это сколько? Назови конкретное количество.

Или, может быть, "бесконечность" — всё-таки не число, и поэтому "бесконечное количество" — не количество, а ссылка на некий метод, при помощи которого мы можем вычислить столько элементов, сколько нам потребуется?

> От нас и не требуется назвать "сколько именно"

Кстати, почему это вдруг? Уж не потому ли, что бесконечность — не число?

> нам нужно уметь назвать для любого натурального N значение N-го знака после запятой - и в данном случае у нас никаких проблем с этим нет.

Уж не потому ли, что мы посредством некоторой последовательности действий — т.е. алгоритма — вычисляем этот самый N? Например, производя (мысленно) подстановку нашего периода в дробную часть столько раз, сколько нужно?

Или мы вместо этого мистическим образом шамански прозреваем наш необходимый N-й знак?

> Не "не работает", а значения не являются разными.
> там достаточно определений, чтобы вывести равенство.

Ну то есть, чтобы вывести "0.(9) = 1", мы в определении прописываем "будем считать, что 0.(9) = 1".

Отличный вывод равенства, да. Вот бы узнать, что с ним не так.

> работаем мы не с алгоритмом, мы работаем с числом.
> 0.(9) - это число, являющееся пределом данной последовательности.

Сколько девяток в числе 0.(9)? Не в периодическом представлении, а именно в самом числе? Мы ведь работаем с числом, назови их точное количество.

> это Вы неправильно понимаете тип. 0.(9) - это вещественное число.

Неверно: это не вещественное число — это один из возможных вариантов представления вещественного числа, которое описывает метод, чтобы получить конечное приближение этого числа в виде десятичной дроби с желаемой наперёд заданной точностью (если совсем доходчиво: чтобы определить значение N-го знака после запятой).

Говорю же, не хватает современным математикам даже элементарных представлений о классах типов. Например — понимания разницы между объектом и ссылкой на объект.

> Утверждение "предел последовательности равен N" означает именно равенство двух величин - предела последовательности и числа N.

Сепульки — те, кто размножаются сепулением.

> Это не сокращение, это определение понятия "предел".

И в этом определении, сцуко, прямым текстом прописано: это не конкретное число, а некоторое условие, налагаемое на последовательность.