Из Википедии, кстати:
Если функции f\, и g\, непрерывны на отрезке \,[a,b], причем \,f(a)< g(a) и \,f(b) > g(b), то существует точка \xi \in (a,b), в которой \,f(\xi)=g(\xi). Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.