А признанный государством и документы – чисто технически выпускникам Хогвартса по идее могут выдавать дипломы о каком нибудь магловском образовании и магловские же паспорта всякие (если у маглов их и так нет – я хз в каком там возрасте в Англии их получают) для отвода глаз. Вполне официальные причём, пробитые через контакты в правительстве.

Не в обязательном порядке впрочем наверное – если выпускник хочет. И наверное в Министерстве какой нибудь отдел может заниматься оформлением нужных бумажек если волшебник решает поселиться среди маглов.