XOR
Эм, выполнение свойств = описание (и никакого другого описания в _математике_ нет; я склонен считать, что нет вообще нигде никакого другого описания). В математике нет требования самоочевидного: если объект нельзя описать (= установить любым образом его свойства, явно или неясно), то и работать с ним математика, ясен пень, не может.

Вообще говоря, нет. Совершенно нормально использовать "множество" наивно. Что мы и делаем, когда нельзя проверить аксиомы. Кроме того, существует множество "множеств", в смысле, аксиоматик для множеств. Говоря просто "множество", можно подразумевать не какое-то конкретное из них, а саму идею множества.

Всё бы хорошо, но здесь у нас работа от реальности к математике, а не наоборот, т.е. тут требуется найти подходящие аксиомы, а не ввести какие хочется.

Я ничего не говорил про векторные пространства с базисами, причём здесь это? Я про это https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0

В том и прикол, что не так. Нас не очень интересует весь континуум (если это континуум, что тоже фиг проверишь) реальностей, нас хотя бы "наша" интересует. Или, для нужды художки, какая-то небольшая система. Однако это подразумевает конкретные элементы, точки. А с ними математика не работает, если это не явно заданные точки. Точки явно не заданы. Тупик.

То есть, судьба конкретно нашего мира нас не интересует? А какой тогда смысл во всём этом, если оно практически неприменимо от слова "совсем"? Никакой? Модель несостоятельна? Что и требовалось доказать.

Я утверждаю, что модель нельзя создать.

Нет, конечно. Математика регулярно сталкивается с новыми проблемами, которые подкидывает ей, например, физика, инженерия всякая и пр. И тогда математика изучает структуры, симметрии, которые возникают в повторяющихся ситуациях и уже потом, для а) строгости и б) трансляции результатов из других областей и в другие области - описывает аксиоматически. Математика не идёт снизу вверх. Математика всю свою историю шла во все стороны откуда-то из серединки - и вверх, в более сложные производные области, и вниз, к основаниям. А в серединку попадала обычно практика, от которой и отталкивалась математика. Мне очень нравится аксиоматический подход, но, на мой взгляд, ты заблуждаешься, что он является "тем, как устроена математика". Среди математиков есть даже течение интуиционистов, которые против аксиоматизации. Или конструктивистов, которые против всякой фигни вроде аксиомы выбора в теормножеств. Не то чтобы я интуиционист или конструктивист, однако их позиция имеет глубокий смысл.

Хорошо, укажи мне СОБСТВЕННЫЕ свойства какого-нибудь невычислимого числа. Ну кроме приколов типа "я возьму положительное число, поэтому оно положительное". Что я вообще могу с ним сделать? Сложить, умножить, взять логарифм? В каком месте математической структуры, описывающей, допустим, действительные числа, она находится? Т.е. это всё круто, но вот у нас фактически аналог - указать свойства некоторой реальности (связной сети событий). Проблемы начинаются уже с того, что нельзя понять, что такое "некоторая реальность", потому что всё связано со всем, как выделять - не очень-то и ясно. Фактически это аналог невычислимого числа, у которого в лучшем случае можно указать что-то типа положительности по определению, и только.

Нет, я веду речь о том, что это является недостатком познавательного аппарата, частью которого является математика. Т.е. моя позиция заключается в том, что не "знаний мало", а "невозможно построить знание". Нематематизируемо. Да, никаких проблем для математики это не создаёт:)

А почему ты уверен, что она есть?

Это неверное утверждение. Математика ограничена именно этим. К сожалению. Ни мозг, ни компьютер не являются актуально или хотя бы потенциально бесконечными системами. Любые модели/описания/структуры, с которыми мы имеем дело, соответственно, конечно, равно как и алгоритмы (я не о времени исполнения, хотя оно тоже, а о числе элементов алгоритма - это всегда конечное число; варианты типа схем аксиом - это варианты типа "описание описания" и тоже конечны). Ну или приведи пример обратного.

М-м-м, в вот у тебя новая область знания. Ты просто волевым усилием постановишь, что она описывается матмоделью такой-то с аксиомами такими-то, правильно? Потому что почему нет? Или это всё-таки не так работает?

Взял ты несколько невычислимых чисел - в чём проблема их сложить и получить вычислимый результат? Хм, или всё-таки есть какая-то проблема, дайте подумать...

Во-первых, математика - не наука, а язык, во-вторых, у нас не абстрактная математика в вакууме. См. выше, я говорю о том, что математика неприменима в некоторой ситуации. Наверное, подразумевая, что в других ситуациях она применима? Например, математика применяется в физике. Или в химии. Математика - это язык, которым описываются симметрии-асимметрии нашей реальности и возможных реальностей. Ну и заодно на нём можно описать саму математику, конечно-с, что заставляет многих (включая меня) думать, что наша реальность и представляет собой некоторое математическое описание, способное к отражению самого себя.

Что это "пространство" (в математическом смысле) надо ещё доказать.

Насчёт наличия и типа упорядоченности есть много вопросов.

Кроме того, что оно, вообще говоря, не упорядочено? И не пространство, вообще говоря? Т.е., нет, нельзя просто сказать, что я ввожу сигма-алгебру и взмахнуть волшебной палочкой. Нужно что-то знать о структуре множества, с которым работаешь. Здесь-то и начинаются проблемы.

Помнится, были замечательные примеры того, что для бесконечных множеств есть семейства подмножеств, для которых нельзя ввести конечную сигма-аддитивную меру. Нет, если у тебя есть волшебная палочка...

Не совсем так. Я подразумеваю, что может НЕ БЫТЬ конечно описуемой структуры, в частности, вероятностного пространства, но не только его. Структура может быть, но при этом не быть конечно описуемой. Более того, я склонен полагать, что она такой и будет в общем случае. Вырожденные случаи будут представлять собой что-то типа очень простых систем реальностей, где все бесконечности "сократились" - что-то вроде натуральных чисел на фоне множества всех действительных.