Этого хватит? Всё брал из головы:
1) Докажите теорему Пифагоров с помощью пределов; производных; интегралов.
2) Верна ли теорема Пифагора на сфере (сферическая геометрия); цилиндре; конусе; торе? Докажите.
3) Докажите теорему Пифагора в пространстве (квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его разных рёбер), НЕ ИСПОЛЬЗУЯ двумерную теорему Пифагора. Использовать эту http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта аксиоматику.
4) Верна ли теорема Пифагора в пространстве Минковского? Почему? Работает ли теорема Евклида на проективной плоскости? Почему?
5) Можно ли с помощью теоремы Пифагора задать метрику? Если нет, то почему? Если да, то сколько различных метрик можно задать?
6) Обобщите http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта эту аксиоматику на 4-мерное; 5-мерное; N-мерное пространства и докажите в них соответствующую теорему Пифагора.
7) Докажите теорему Евклида с помощью теоремы косинусов – это элементарно:) Докажите её с помощью теоремы синусов, используя в дополнение к ней любые теоремы относительно ТОЛЬКО углов. Докажите теорему Евклида с помощью симметрий.
8) Составьте перечень не менее 20 различных пространств, в которых верна теорема Пифагора; если одно из пространств является частным случаем другого - оно не считается:)
9) Докажите теорему Пифагора (двумерную, трёхмерную) во всех известных (не менее 4) аксиоматизациях евклидовой геометрии. Аксиоматику Гильберта НЕ считаем, поскольку доказательство в ней уже проходили в классе:)