Стратегии (реал тайм, пошаговые, 4Х), ролевые игры (вероятно под сражающимися бобрами понимались они? ^^'), стелс-экшн, экшн-рпг, соулслайки, мморпг, лутер-шутер, платформеры, цифровые коллекционно-карточные, новеллы и выживание тоже, но редко.

Жанры игр определяются по тому, как задуман игровой процесс, и обычно подразделяются на поджанры, количество которых постоянно дополняется.
Бывает такое, что успешная игра или даже модификация, привнесшая новые элементы, выделяется в поджанр вместе с последующими играми, в которых используются схожие элементы. Из известных примеров: карта Defense of the Ancients к стратегии Warcraft III породила жанр MOBA и серия Dark Souls (Demon's Souls), игры которой вообще относятся к жанру экшн-рпг, послужила появлению поджанра soulslike именно за счет ключевых элементов игрового процесса.
Вне зависимости от жанра игра может содержать или не содержать сюжет и иметь разный упор на него. Есть жанры, как рпг например, для которых наличие сюжета в той или иной форме является одним из ключевых элементов.
Игры в рамках одного жанра могут очень сильно отличаться друг от друга из-за наличия или отсутствия каких-то элементов (как например сюжет, открытый мир, составление колод, пошаговый режим боя или бой с тактической паузой и т.д.).
Существование сетевых игр разных жанров может усложнить классификацию в зависимости от того, что Вы хотите понять.

Прошу прощения, если что-то из этого уже было известно или объяснялось остальными собеседниками. Или было вообще не тем, что необходимо узнать.
Возможно таблицы в последнем разделе здесь или список здесь помогут что-то прояснить. Они могут быть не точны, но основное представление дают.