Лучше всего в приют, потому что там точно нужно. Хотя если при клинике живет кот, можно и туда. Но с прокормом одного кота сотрудникам справиться точно легче, чем с целым приютом.
То есть найти желающих забрать можно разными способами, но самую большую пользу это принесет приюту. Так что я за этот вариант.
Мне кажется, самое простое, быстрое и рациональное - загуглить ближайший приют и позвонить туда, обсуждать как будто бы и нечего.