Жопожуй Конидзэ
Из любопытства отдала ии-переводчику и он сказал, что
С точки зрения строгой грамматики английского языка, это предложение содержит классическую синтаксическую ошибку, известную как dangling modifier (висячее определение) или misplaced modifier (неправильно поставленное определение).

Вы абсолютно правы в своей интуиции: предложение построено по той же логической схеме, что и знаменитый пример «Проезжая мимо станции, с меня слетела шляпа».

Почему это ошибка
В английском языке деепричастный оборот (в данном случае герундиальная фраза While escaping from the Underworld) по умолчанию относится к подлежащему (subject) главного предложения.

Разберем структуру вашего предложения:

Главное предложение: the sword of Ares just happened to fall into my hands.
Подлежащее (Subject): the sword of Ares (меч Ареса).
Обстоятельство (Modifier): While escaping from the Underworld (Совершая побег из Подземного мира).
Грамматика диктует, что действие escaping (побег) совершает подлежащее. То есть буквальный смысл фразы: «Пока меч Ареса сбегал из Подземного мира, он (меч) упал мне в руки».

В русском языке деепричастие относится к подразумеваемому (часто скрытому) подлежащему — тому, кто совершает действие. В примере со шляпой действие совершает «я», но формально подлежащее — «шляпа». В английском языке эта двусмысленность недопустима: действие деепричастного оборота должно быть приписано только тому, кто назван подлежащим.

Как это воспринимают нейтивы
То, что носители языка не всегда замечают ошибку, объясняется несколькими факторами:

Контекст и прагматика. Если вы рассказываете историю от первого лица, мозг слушателя мгновенно достраивает смысл. Слушатель понимает, что из Подземного мира сбегаете вы, а не меч, потому что мечи не обладают волей. Ошибка очевидна на бумаге, но в потоке речи она «проскакивает», так как семантика (смысл) побеждает синтаксис.
Разговорная речь. В неформальном общении (casual speech) носители часто используют подобные конструкции. Это не считается признаком безграмотности, скорее — небрежностью или разговорным упрощением. В комментариях на Reddit или в личных блогах вы встретите такое сплошь и рядом.
Редакторская правка. Однако любой профессиональный редактор, переводчик или учитель английского исправит это не задумываясь. В литературе, сценариях игр или официальных текстах такая конструкция считается браком.
Как исправить предложение
Чтобы фраза звучала грамотно, нужно сделать так, чтобы подлежащее главного предложения совпадало с действующим лицом в обороте. Поскольку вы — тот, кто сбегает, вы и должны стать подлежащим.

Вариант 1 (самый естественный и грамматически безупречный):

While I was escaping from the Underworld, the sword of Ares just happened to fall into my hands. Здесь I — подлежащее придаточного предложения, и именно я совершаю действие escaping. Это самый безопасный и универсальный вариант.

Вариант 2 (сохраняем вашу исходную структуру, меняя главное предложение):

While escaping from the Underworld, I just happened to come across the sword of Ares. Здесь I — подлежащее главного предложения. Теперь всё логично: «Совершая побег, я как раз наткнулся на меч». Обратите внимание, что здесь пришлось изменить сказуемое (fall into my hands не очень хорошо сочетается с активным подлежащим I в такой конструкции, поэтому лучше использовать find, grab, obtain или come across).

Вариант 3 (меняем порядок, чтобы спасти оригинальный глагол):

Escaping from the Underworld, I just happened to grab the sword of Ares. (Совершая побег из Подземного мира, я как раз завладел мечом Ареса).

Вариант 4 (используем предлог on):

On escaping from the Underworld, I found the sword of Ares had fallen into my hands. (При побеге из Подземного мира я обнаружил, что меч Ареса упал мне в руки). Это более литературный и чуть громоздкий вариант.

Вариант 5 (разбиваем на два простых предложения — отлично для экшен-сцен):

I escaped from the Underworld. That's when the sword of Ares fell into my hands. Это полностью снимает любую грамматическую двусмысленность и отлично подходит для динамичного повествования.

Вариант 6 (сохраняем ваш оригинальный порядок слов, используя Upon):

Upon escaping from the Underworld, I just happened to find the sword of Ares in my hands. Это максимально близко к вашей изначальной структуре, но грамматически верно, так как I становится подлежащим.

Резюме: Ваше предложение — это стопроцентный dangling modifier. В строгом английском оно ошибочно. Если вы пишете книгу, сценарий или качественный текст, его обязательно нужно исправить, сделав персонажа (I) подлежащим. Если это реплика в неформальной ролевой игре или быстрый диалог, носители языка вас поймут из контекста, и это не будет резать слух так сильно, как может показаться русскому человеку, привыкшему к жестким правилам согласования деепричастий.