> вывести свойства медиан и прочее смогу, но работы гораздо больше. Тем более что вывести смогу, а вспомнить - нет.

Суть в том, что это не те свойства, котрые надо "выводить", а те, что мы регулярно наблюдаем в обычной жизни. Понятно же, что если линия из вершины делит сторону пополам, то под каким углом ни смотри...

И таки-да, это вопрос не для сортировки студиозусов (для которых описанное Вами естественно), а для защитившихся аспирантов, уже доказавших свое технические способности, уже привыкших получать и решать нетривиальные задачи. Нет сомнений в том, что они могут взять двойной интеграл...

Вот в "как решать" и состоял вопрос Сортировочной Шляпы...

Интуитивный ответ не получился интегрированием в голове или разбиением треугольника на полоски. Он был основан на более глубоком знании, которое, одновременно, и более практичное. Формальное решение не приближает ни к пониманию ответa, ни к пониманию источника интуиции об ответе. Ученые так не думают.

Мне тоже, конечно, обидно, что я не Слизеринец. Но по этому поводу есть другой хороший рассказ: некоего многообещающего юношу (он хотел стать математиком) привели "на благословление" к Давиду К. Тот спросил юношу, какая у него любимая часть математики. Юнец брякнкул, что дифференциальные уравнения: мол, знай наших. К. дал ему решить уравнение y'=0. А почему это верный ответ? -- спросил К.

После напутственной беседы юноша передумал идти в математики.

Для большинства видов деятельности умение интуитивно дойти до правильного ответа и найти логическое обоснование уже достаточно. Для науки этого мало. Нужно понимание, ПОЧЕМУ этот ответ правильный. Говорят, что если его нет, или поиск такого понимания неинтересен, то лучше найти себе другое занятие.

Вот я и обсчитываю матстатом векторные поля, и совершенно счастлив =) Мы, Хаффлпафцы, тоже нужны, и приносим большую пользу человечеству.