К сожалению, в каноне, куда не копни, очень много дыр. И очень на многие вопросы ответы получить просто нереально. И нет, насколько я понимаю, пророчества автоматически не записываются. Об единственном пророчестве, о котором говорится, написано, что оно "записано со слов Дамблдора".

Запись Пророчества
Хрустальный шар, где было записано пророчество.

Пророчество Сивиллы Трелони было записано (видимо из воспоминаний Дамблдора) и эта запись была помещена в Зал пророчеств в Отделе тайн в Министерстве магии. Рядом с шариком, в котором хранилась запись была помещена табличка «С.П.Т. и А.П.В.Б.Д. Тёмный Лорд и ?». После событий в Годриковой впадине табличку сменили на «С.П.Т. и А.П.В.Б.Д. Тёмный Лорд и Гарри Поттер (?)». Эта запись была разбита во время сражения в Отделе тайн в июне 1996 года. Однако существовали ещё воспоминания Дамблдора, и, вероятно, самой Сивиллы Трелони. Впрочем, воспоминания Трелони просмотреть весьма проблематично, поскольку сама прорицательница ничего о пророчестве не помнила.
https://harrypotter.fandom.com/ru/wiki/Пророчество

В-общем, вопросов больше, чем ответов.