Люпин был оборотнем, во-первых, не по вине Сириуса и Джеймса, а во-вторых, изменить этого уже было нельзя. Можно было только принять. И то что Джеймс и Сириус не носились с ним из-за этого как с вазой эпохи Цин, наоборот, говорит о том, что они воспринимали его таким какой он есть, принимали его со всеми недостатками и не обращали на них внимания, но видели все его достоинства. Т.е., несмотря на свою чистокровность, ребята приняли в свои ряды оборотня, они готовы были преобразовывать и развивать свое общество, которое застряло где-то на уровне Средневековых устоев. Многие ли их однокурсники готовы были принять Люпина оборотнем? Даже гриффиндорцы, не говоря уже о других факультетах? Ой вряд ли...
А вот тот же самый Люпин, комплексовал и застрял как раз примерно в тех устоях. О чем это говорит? О том, что он не принимал сам себя. О том, что его друзья были уверены в нем и его дружбе, а вот он уверен в этом не был. Получается, что и Джеймс с Сириусом были гораздо лучшими друзьями, чем сам Люпин. Вот Сириус сразу бросился за Петтигрю (ну, однозначно, это была не первостепенная задача, но об этом чуть позже), а когда оказался в Азкабане - разве Люпин усомнился в том, что это он предал? Зная то, насколько Сириус был верен Джеймсу, Люпин ни на секунду не усомнился в предательстве. Не попытался разобраться. Хорош друг. Прям вот золото, а не друг. Лучше не бывает...
И я не приму доводов типа: "А что он мог сделать?" по причинам:
1. Он мог пойти к Дамблдору и попытаться до него донести суть всей ситуации, убедить Дамблдора использовать сыворотку правды. Мог? Мог. Он состоял в ОФ, и Дамблдор был доступен. Конечно, вряд ли у него это получилось бы - ибо не выголно было Дамблдору, чтобы Сириус был рядом с Гарри. Даже если бы ему удалось убедить Сириуса отдать Гарри в семью тетки, то постоянное присутствие Сириуса (а он ведь мог и рядом дом прикупить) в жизни Гарри очень изменило бы ситуацию.
2. Тот же самый ОФ - там он мог попытаться убедить состав ордена, даже если бы не получилось, пусть не у всех, но в умах людей поселилось бы зерно сомнения.
3. Он мог пойти к журналистам типа Скиттер - тем лишь бы сенсацию дать... А дальше они сами разбирутся...
И это еще не все, что он мог сделать. Но не сделал.
Вот честно, обидно и за Джейми и за Сириуса.

Теперь вернемся к Сириусу и тому, что он бросился в погоню вместо того, чтобы позаботиться о Гарри.
Вообще-то, мы не знаем, при каких обстоятельствах это было
Судя по всему, он, уже спешил к дому Поттеров, но встретив Хагрида узнал, что там Дамблдор и решив, что крестник в безопасности бросился в погоню за Петтигрю.
Вряд ли он рассчитывал на то, что он окажется в Азкабане. Поэтому логично предположить, что поймав Петтигрю (вряд ли он планировал его убивать иначе от Петтигрю осталось бы тело, а не палец) Сириус собирался сдать его министерским и вернуться к своим обязанностям крестного.