Просто загляните в историю. Математика появилась сравнительно недавно, и до неё люди пользовались иными приемами. Например, мифологическими. Для древнего человека миф имел иное значение, нежели для современного: элементы мифа были такой же мерой бытия, как и числа для нас; сюжеты мифов служили объяснением природы, источником правил поведения и рамками мышления. Это по-своему впечатляюще: представьте, что вас никогда не учили читать и считать, но зато всю жизнь вы слышали несколько десятков историй - ваш мозг работал бы совершенно иначе. Если математика построена на сопоставлении реальных объектов абстрактным числам с их последующим сравнением, то мифологическое мышление работало на уподоблении тех или иных феноменов элементам мифа. Математика, как видите,выигрывает и в сфере применения, и в точности, поэтому мы пользуемся именно ею.
Или вот более близкий к нам пример: психиатрия. Её не свести к математике, пока не будет создана физическая теория сознания - и не факт, что та будет работать по известным на сегодня математическим принципам. При анализе, скажем, рисунков пациента, можно ставить диагноз лишь по совокупности всех частей рисунка, их взаимному расположению и вложенному в них смыслу. И чтобы правильно понимать рисунок, надо иметь представление о культуре, к которой принадлежит пациент, его собственных личностных особенностях и тому подобных уникальных тонкостях, не сводимых к математической задаче.
Конечно, с помощью психоанализа ракету не построишь, поэтому инженерам важнее математика. Но и с помощью общей топологии человека от суицида не спасешь. Так что налицо части реальности, которые требуют различных описательных инструментов.

И далее, если сравнивать математику конца восемнадцатого века и некоторые современные её разделы, используемые в квантовой механике, то разница будет такая же, как между велосипедом и роем ос - как будто они вообще не имеют ничего общего.
Та же теория струн тормозит в развитии именно из-за отсутствия подходящих математических инструментов для решения возникающих задач. Вполне возможно, что в ближайшие сто лет некоторые разделы математики разовьются настолько, что их, собственно, и математикой сложно будет считать.