Если отталкиваться от тега, физический смысл в том, что некоторым вещам удобнее ставить в соответствие не просто числа, а числа с дополнительной степенью свободы - комплексной фазой.
Причем ровно с такими свойствами, чтобы "сложение" в широком смысле вело себя так, как ведет себя сложение волн - взаимным гашением и усилением в разных местах (потому что говоря о квантмехе (и не только) мы это и наблюдаем).
Ну ещё это всё тесно связано с преобразованием Фурье, которое превращает дельта-функцию(x-r) в ~ е^ikr
Но я всегда понимал это как простой факт, что обычного одного числа недостаточно, нужно ещё одно + некоторые правила взаимодействия таких пар. Так уж получилось, что эти правила оказались правилами комплексных чисел.

Разумеется, у этого "совпадения" есть глубокие причины, но они во многом математические. Так просто и не переведешь на язык "физического смысла".