Волшебный Олень
Дети говорили что видели крысу своими глазами. У вас есть предположительно виновный человек, против вины которого есть свидетельства сразу трёх детей, плюс одного взрослого мага, который, на минуточку, оборотень. У вас есть масса способов установить правду. К примеру, дети могут сдать воспоминания, сам заключённый может быть допрошен бездной способов.

Вы, также знаете, какими неразлейвода были Поттер и Сириус, и вас в своё время, как и всю Британию, удивило предательство Сириуса. Также вы знаете о характере Питера Петтигрю.

Возникнут у вас какие-то сомнения? Нет? Апачиму?

Дамблдора не приплетайте. Из канона очевидно, что к тому времени он был с министерством не в лучших отношениях, и со времён "предлагали кресло Министра" утекло немало воды. То, что и Снейп, и ДДД Сириусу прекрасно поверили, совершенно точно известно со времён воскрешения Волдеморта, когда все сидели на Гриммо, 12. Разницы по сравнению с Узником Азкабана в инфе нет. Всё те же показания Поттера, всё те же свидетельства Сириуса.

Снейп, повторюсь, не дурак. Он отлично всё понял и прекрасно поверил. Но ему вариант, когда один из его обидчиков молодости внезапно оказывается на свободе, выгоден так же, как и Фаджу возвестить на весь мир, что при его правлении невиновный человек сидел 12 лет, а настоящему виновнику дали Орден Мерлина.