>>>Когда Гиппократ умер в 377 году до рождества Христова (по другим сведениям в 356 году), такой клятвы ещё не было.

Википедия с вами не согласиться.

Клятвы, формулирующие моральные нормы поведения врача, существовали ещё в Древнем Египте[1].
Возникновение клятвы значительно древнее времени жизни Гиппократа: согласно преданию, клятва восходит к прямым потомкам Асклепия, она переходила в устном виде как семейная традиция из рода в род. Клятва была впервые записана Гиппократом в эллинистической Александрии при Герофиле (Herophilos, ок. 300 г. до н. э.) и Эразистрате и стала документом с III века до н. э.[2]