Хогвартс — это замок, крепость, явно имевший некогда военную функцию и предполагающий, я думаю, наличие общины по типу аббатской (не будучи владением некого конкретного феодала). Гимназия — посещаемая школа.
За просто волшебство тоже. Только на некое конкретное. Волшебник — это прирождённое свойство организма, а профессию он может иметь какую угодно, как связанную с его даром (зельевар, целитель, гадатель, тучегонитель...), так и нет.