С чего это вдруг?

Для того, чтобы взять власть, требовалась поддержка сплоченной группы волшебников, готовых, если что, с палочкой в руках отстоять твоё право на министерское кресло.

Также очень желательно иметь широкую общественную поддержку, чтобы другие претенденты не могли использовать народное недовольство против тебя.

Ну и неплохо бы знать расклады и иметь связи в самом Министерстве, чтобы быстро наладить взаимодействие с сотрудниками (всех заменить на своих людей все равно не получится, придется договариваться как минимум с частью прошлого персонала) - чтобы не получить итальянскую забастовку, саботаж или диверсии.

2 мая 1998 было не так уж много претендентов, удовлетворяющих условиям.
Кингсли Шеклболт бы одним из них.
Ещё мог попытаться Артур Уизли.
У Гарри Поттера были бы проблемы с 3 условием, но, думаю, для него нашлись бы советники (и серые кардиналы).

А также могли бы попытать счастья представители других сторон: скажем, кто-то из высокопоставленных авроров, из тех, кто работал и при Скримджере, и при Волдеморте. Или вообще какой-нибудь Ранкорн - с опорой на остатки про-волдемортовских сил и им сочувствующих.
И не факт, что такого не случилось - в смысле, с гибелью Волдеморта борьба за власть могла вовсе не кончиться, и «светлым силам» еще предстояло убрать конкурентов и посадить на трон своего человека.
Канон про это умалчивает, перенесясь сразу на 19 лет вперед.