Если отбросить то, что в военное время особо не судят, остаются два момента. Пресловутая мантия, которую Дамблдор вовремя забрал и вовремя отдал (заметьте, на Рождество, а не сразу. И в сейф не положил).
Второе - Хагрид застаёт Сириуса с младенцем на руках. Согласитесь, что убийца/предатель Поттеров без проблем бы не отдал ребёнка. Да ещё и зная о том, что Хагриду нельзя колдовать, а из зонтика (с учётом того, что о его особенностях известно орденцам) ничего толкового не наколдуешь. Поэтому либо Дамблдор идиот, что просто невозможно по канону, либо сознательно закрыл глаза.

И ещё момент. В 3ей книге он без проблем разрешил освободить узника не совсем законным способом. А раньше не мог? Не верю я в его невиновность в данном деле. Сознательно заточил - да. А так слишком много фактов за Сириуса, а не против.

Водяной Тигр, вы считаете, что глава Визенгамота не мог ничего сделать? Это всё равно что судья Верховного Суда. Он главнее любого, кроме генерального, прокурора. Крауч далеко не генеральный, если сравнить с маггловскими реалиями.