Паломники (джен)

Был ясный, солнечный день. Ветер танцевал на макушках холмов. Конфуций сидел на горе и наблюдал процессию из буддийских монахов, которые поднимались на соседнюю гору.

Тропинка, по которой они шли, была узкая и опасная, поэтому они шли, одинаково тонкие, жилистые, выбритые, один за одним, один за одним. Конфуций нашёл, что это зрелище его умиротворяет.

Умиротворившись, он не заметил, как сзади к нему подошёл крестьянин и спросил — Конфуций от неожиданности вздрогнул:

— Учитель, куда идут эти люди?

— Это паломники. Они идут поклониться святыне, — ответил Конфуций. Крестьянин не отставал:

— Какой святыне?

Конфуций бросил взгляд на небо. Полупрозрачное облачко нежным шёлком обняло солнце на мгновение, а после полетело дальше по своим делам.

— Не знаю, друг. Разве не все святыни одинаковы?

Крестьянин хмыкнул.

— Учитель, мне говорили, что мудрость твоя так велика, что достаёт до неба, а ты даже не знаешь, чему идут поклониться эти люди!

— Сколь бы велика ни была моя мудрость, — ответил Конфуций, — её не хватит, чтобы охватить Землю, поцеловать Луну или достать до неба. Я знаю лишь едва столько, чтобы утверждать, что не знаю почти ничего. Может быть, если бы знал больше, мне не приходилось бы уточнять, что “почти”.

Они помолчали. Крестьянин стоял, задумавшись над словами мудреца, Конфуций же прикрыл глаза и подставил лицо солнцу. Уж если он что-то знал наверняка, так это то, как приятно принимать солнечные ванны в погожий денёк.

— И всё-таки, — наконец сказал крестьянин, — я не понимаю.

— М-м? — переспросил Конфуций, не открывая глаз.

— Зачем они лезут на гору? Это же тяжело и опасно!

Конфуций вздохнул. Он поднялся сюда, чтобы побыть немного наедине с собой и собственными мыслями, отдохнуть от чужого внимания, насладиться свежим воздухом и приятным видом; но если уж к тебе приходит человек, томимый жаждой знаний, как ему отказать?

— Но, друг, — ответил Конфуций, — ты тоже залез на гору. Зачем?

— Как зачем? — удивился крестьянин. — Здесь же ты сидишь. Я к тебе спросить пришёл.

— Так и они, — показал Конфуций на монахов, — к своей святыне идут.

— А-а, — протянул крестьянин. — Тоже спросить?

— Вряд ли.

Они помолчали ещё. Ветер пронёс мимо лепестки глицинии. Невдалеке застрекотал сверчок.

— Так что ты хотел узнать? — произнёс Конфуций. Ранняя бабочка села ему на нос, отчего ему стало щекотно и он с трудом сдерживался, чтобы не чихнуть, но ему не хотелось пугать бабочку и обижать крестьянина, который так высоко забрался, чтобы получить ответ на интересующий его вопрос.

— А, да! — взмахнул руками крестьянин. — Учитель, сколько звёзд на небе?

Конфуций пристально посмотрел на синее-синее, почти безоблачное небо. Бабочка взмахнула крыльями и неспешно улетела прочь.

— Насколько я могу судить, сейчас ни одной, — заметил он. Крестьянин насупился.

— Учитель, я серьёзно! Не прячутся же они на день в домики?!

— Может, и прячутся, — заметил Конфуций, — а может, и нет. Это одна из многих вещей, которые я до сих пор не знаю.

— Хорошо, — сказал крестьянин. — Сколько звёзд на небе ночью? Если облаков нет, — торопливо добавил он на всякий случай.

— Много, — сказал Конфуций. — Очень много. Я не считал.

— А я считал! — похвастался крестьянин. — Правда, так ни разу и не сосчитал все. Неужели их бесконечно много?

Конфуций сорвал травинку и потеребил её в руках.

— Сложно сказать. Но даже если бы ты считал всю жизнь, а твой сын и твои внуки продолжили бы считать звёзды после твоей смерти, никто из них ни в какой момент не смог бы с уверенностью сказать, что несть им конечного числа.

— Конечного?

— А бесконечность что, не число? — мудро заметил Конфуций.

Крестьянин, не найдясь с ответом, мужественно чихнул.

Мудрец жестом указал собеседнику на небольшой бугорок, бурно заросший травой. Крестьянин, слегка смутившись, сел на указанное место и приготовился слушать. Монахи в оранжевых одеждах продолжали цепочкой подниматься на соседнюю гору, один за одним, один за одним, и было их так много, что не было видно им ни начала, ни конца. Издалека они напоминали муравьёв, неторопливо идущих по своим муравьиным делам по своей муравьиной тропе.

— Наверное, называть бесконечность числом всё-таки неправильно, — признался Конфуций. — В конце концов, бесконечности бывают очень разными.

— Бесконечность и бесконечность бесконечностей? — предложил крестьянин. Мудрец вытянул руку вверх, словно пытался поймать солнце в ладонь.

— Не совсем. Если все бесконечности в твоём примере одинаковые, то ничего не получится… но ты можешь не делать вид, что понимаешь. Я и сам не с первого раза понял, — ободряюще улыбнулся Конфуций. — Давай лучше посчитаем монахов?

Крестьянин поковырял носком сандалии землю.

— А что их считать? Много их. Да и с какого начинать, непонятно.

— Это неважно, — сказал Конфуций. — Будем считать их умозрительно. Среди них же был первый?

— Первый? — переспросил крестьянин. — Был, наверное.

— А за ним шёл второй, — продолжил Конфуций. — Третий, четвёртый, пятый…

— Шестой, седьмой, — подхватил крестьянин. — Дальше скучно считать.

— Это потому что они люди, а не звёзды? — спросил Конфуций, и крестьянин сконфуженно замолчал. — Но действительно, эдак мы долго будем рассуждать. Давай считать быстро. Десять, сто, десять тысяч…

— Так много? — удивился крестьянин. — Я думал, монахов не так много.

— Это воображаемые монахи, — сказал мудрец. — Представим, что они поднимаются на свою гору и завтра, и послезавтра, и ещё тысячу лет после.

— Это долго, — заметил крестьянин. — Я устану на них смотреть.

— Тогда мы немного ускорим время, — сказал Конфуций. — Это воображаемая ситуация, поэтому так можно.

— Хорошо, — сказал крестьянин. — Что дальше?

— Вот мы считаем, считаем… все конечные номера уже раздали, но тут приходит ещё один, и тогда…

— Подожди! — воскликнул крестьянин. — Во-первых, как можно раздать все конечные номера, а во-вторых, разве ещё один монах что-то изменит? Его можно поставить в очередь между двумя с конечными номерами, и всё будет хорошо.

Конфуций усмехнулся.

— Подловил меня, подловил! Конечно, в итоге придёт не один монах, а целая бесконечность бесконечностей. Их расставить будет гораздо сложнее…

— Но можно?

— Вообще говоря, можно, но речь сейчас не об этом. Давай представим, что переставлять монахов нельзя. Тропинка узкая, они не могут друг друга обгонять.

— Это правда, — согласился крестьянин. — Но как могут закончиться конечные номера?

— Легко! Если мимо тебя прошло уже бесконечное число монахов, то все обычные номера закончатся. Вернее, как только у нас закончились конечные номера, это и значит, что мимо прошло бесконечное число монахов. Это самая маленькая бесконечность, её ещё называют алеф ноль.

— Очень страшно звучит.

— Не переживай, это нам не понадобится. Так вот, монаха с бесконечным номером мы назовём ω.

— Почему так? Он не обидится?

— Так принято, — сказал Конфуций. — Ничего не могу с этим поделать.

— Ладно, — сказал крестьянин. — Продолжай.

— Как думаешь, какой номер будет у идущего за ним монаха?

Крестьянин задумался.

— Не представляю, — признался он. — Это всё слишком сложно для меня.

Конфуций улыбнулся.

— Ну если за первым монахом идёт один плюс первый, то есть второй, а за вторым — два плюс первый, то…

— ω плюс первый?

— Да.

— Это законно?

— Как ни странно, да.

— А потом ω плюс второй? ω плюс третий?

— Всё верно, — сказал Конфуций. — Но гораздо интереснее другой вопрос: монах с каким номером шёл перед ω?

— Э… Э, — сказал крестьянин. — Не могу представить. Уж точно никакой не конечный, потому что за конечным будет идти другой конечный, но… Может, перед ним никого нет?

— Нет, что ты, — ответил мудрец. — Если бы перед ним никого не было, он был бы первым.

— Логично, но непонятно, — признался крестьянин.

— Перед ω будет ω минус первый, — сказал Конфуций. — Потом минус второй, минус третий и так далее. Видишь, — продолжил он, — к нам действительно пришла ещё одна бесконечность монахов. А после того как мы их всех сосчитаем, к нам придёт монах номер… Есть догадки?

— Ни единой, — сказал крестьянин. Конфуций вздохнул.

— Ну как же! Конечно же, это будет ω умножить на два. Потом ω умножить на два плюс один, плюс два…

— Ужасно, — выдавил из себя крестьянин, представив себе несколько бесконечностей монахов. — И это всё будут бесконечные номера?

— Да.

— И это всё будут разные бесконечности?

— Э-э, не совсем, — сказал Конфуций. — Есть нюанс. Если мы говорим про бесконечные номера, то да, номера у них будут разные. А если про количества, то количества будут одинаковые.

— Я понял, что я ничего не понял, — сказал крестьянин.

— Тем самым, ты стал мудрее, — заметил Конфуций и растянулся на траве. — Так вот, номера, то есть ординалы, все разные. А количества — кардиналы — одинаковые. Потому что если к любому бесконечному множеству монахов добавить ещё одного монаха, их количество не изменится.

— Не понимаю.

— Потому что этого монаха можно переставить, например, в начало, и номера монахов из первой бесконечности увеличить на единицу. И если у нас последний монах был, например, три ω плюс пятый, то теперь последний монах будет три ω плюс четвёртый, у всех монахов номера разные, и ни один номер не будет пропущен, — объяснил Конфуций.

Крестьянин развёл руками.

— Я в растерянности. Получается, что конечные кардиналы все разные, а бесконечные — одинаковые?

— Тоже нет, — сказал Конфуций. — Просто мы ещё считали недостаточно долго. Если мы посчитаем ω, две ω, три ω, потом ω в квадрате, в кубе…

— Какой ужас, — сказал крестьянин.

— …ω во всех конечных степенях — это всё будет тот же кардинал алеф ноль. И даже ω в квадрате. Но если мы будем считать ещё дальше, то рано или поздно мы досчитаем до алефа один, который будет гораздо больше, чем все предыдущие бесконечности. А потом до алефа два, три и так далее…

— Если честно, я не хочу дальше считать, — сказал крестьянин.

— Согласен, — согласился Конфуций. — Зачем считать, если можно просто лежать на солнце и смотреть на монахов, которые поднимаются на свою гору подобно муравьям на муравейнике?

— Да, — сказал крестьянин. — Правда, у меня есть ещё один вопрос.

— Говори, — сказал Конфуций.

— Вот ты говоришь: алеф один, алеф два… Но если есть ещё алеф ноль, то что такое ноль?

— О, — сказал Конфуций. — Это уже совсем другая история…