А что еще он должен был сделать? Усыновить? В конце концов малолетний Том - дело его декана. Почему претензия к Дамблдору, а не, например, к Диппету или Слизнорту?

1. Насколько я помню, шпионаж велся (вернее было подозрение что шпион есть) и до наложения Фиделиуса. Следовательно, Сириус, по желанию этой самой левой пятки и перманентно пребывая в состоянии аффекта шпионил не один день. И не два. Либо был завербован кем-то из "Фениксов" или их окружения. И потому после разгона Пожирателей его следовало допросить с целью выяснить кого еще завербовал, или, что более важно КТО ЕГО завербовал. Так как, возможно, особо идейный "крот" (тот самый шпиён, о существовании которого подозревали) из соратников Дамблдора успешно воспользовался душевным раздраем Сириуса и толкнул его в лапки Тома.

Оставлять шанс наличия подобного... существа среди своих сторонников лично я считаю глупостью. А если еще и оклюменцией владеет на уровне...
Версию, что сам побежал к Волдеморту тоже остается, но не отметает шанса существования остальных.
2. При Гарри, собственно, Люпин ничего высказывать и не должен был в адрес Дамблдора, вроде как.
В этом случае у Сириуса даже будь признан он не виновным и оправдан было бы шансов на опекунство не больше, чем у его матушки. Или у Хагрида. И Джеймс с Лили должны, по идее, это понимать. Ну, крестный Сириус, и что? Ну, рад за тебя, но жить ребенок с тобой не будет (не то, что это может помешать Звезде выкинуть какую глупость...)