> Ну мне прямо неловко уже... Ну хотя бы в Вики загляните (статья Вещественные числа), там упомянуто четыре разных способа их определять. И это не предел.
Не зря Вам неловко :) Суть в том, что все эти четыре (и многие другие) определения задают тем не менее один и тот же объект. И даже если взять модель, где вещественных чисел счетное число, это все равно будут те же самые вещественные числа.

> И вы после этого обвиняете меня в демагогии? Заменяя одно непонятное слово на другое непонятное словосочетание? Или вы можете определить, что такое "природа вещей"?
Ну уж после этого точно обвиняю! :) После такого толстого троллинга только и остается, что словарь процитировать: естественный -- это "обыкновенный, нормальный; обусловленный общим, привычным ходом вещей". За определением всех использованных в определении понятий извольте также при необходимости посмотреть в словаре.

> А что тогда единица в вашем примере?
Известно что. Это {0}. А двойка, ежели интересно, это {0, 1} = {0, {0}}= {{}, {{}}}. И так далее. Ординалы это называется. И это суть натуральные числа. И X^Y, равное множеству отображений из Y в X, для ординалов как раз совпадает с соответствующими натуральными числами. Вообще, это довольно интересный и красивый факт. В данном случае 0^0 = {}^{} = {{}} = 1.

> Это каким же образом аналогично-то? :)
О_о Вы, верно, издеваетесь, сударь! a*0^4 -- это умножение а на 0 четыре раза, а a*0^0 -- это, таки аналогично, умножение а на 0 ни одного раза.

> И это тоже вопрос удобства
Это вопрос определения факториала. Но, ежели угодно, все это можно считать вопросом удобства. Да, 3! = 6 потому только, что это удобно. Вот только определять факториал отдельно для каждого числа не очень удобно. Все-таки есть общее определение для всех чисел, и для 0 оно гласит, что 0! = 1. Как и для возведения в степень есть общее определение, и именно из него выходит, что 0^0 = 1, никаких дополнительных соглашений для этого не нужно. То есть это "обусловлено общим, привычным ходом вещей". Если он для Вас непривычен, то самое время привыкнуть! Так вот на старости лет можно научиться возводить в степень :)
Вообще, усилия многих современных математиков направлены на то, чтобы описать все минимальным набором правил, без всяких дополнительных соглашений и частных случаев. И я таки не понимаю, чего такого плохого Вы видите в этой концепции, что так активно ей сопротивляетесь.