Если бумажка, которую он получит из будущего, будет пустой, он напишет первую из вещей, что ему необходимо перебрать – 101 * 101. После этого отзанимается час и принесёт бумажку назад. Настоящий он перемножит числа и увидит, что это не является правильным ответом. Такой вариант развития событий его не устраивает, потому он обещает себе, что, если получит такую, то на свою ещё чистую бумажку запишет следующее в его ряду число – 101 * 103. Следующий Гарри получит это, перемножит, снова не удовлетворится результатом, и на свою бумажку напишет уже 101 * 105. Это будет продолжаться до тех пор, пока на бумажке не окажутся заветные множители числа 181429. Если он их перемножит и получит это число, то он и на своей бумажке напишет то же самое, а значит, все-все следующие Гарри будут получать правильный ответ. И настоящий Гарри среди них. И нет, Гарри не может оказаться среди тех, кто вносил свою лепту в решение, например, «Гарри 103*105». Вселенная не была бы стабильна в таком случае, герой вынуждает её быть нестабильной в такой ситуации, единственный шанс для бедной вселенной продолжать действовать так, как она привыкла – выдать ему правильный ответ.
Это, кстати, и вправду абсурдно удобный способ узнавать что-либо. Если у вас есть кодовый замок, вы просто проверяете комбинацию 0000, если не получилось, то пишете Гарри в прошлое, чтобы он попробовал 0001, если нет, пусть пробует 0002 и так далее. А у нас мир со стабильными временными циклами, потому всё будет вынуждено остановиться на правильном ответе 1234. И только в том случае, когда ответ правильный, цикл стабильный. Только в том случае, когда ответ правильный, вселенная, повторимся, может работать так, как привыкла.
Впрочем, автор показывает, что есть ещё один стабильный цикл – «не шути со временем», но это, вероятно, просто ограничение. Использование такого метода уж слишком облегчило бы герою жизнь.

Вот объяснению и конец, осталась пара примечаний.
Первое, метод, как мы видим, может использоваться только для поиска одного ответа, это не каприз Гарри. Угадать несколько паролей за одну ходку, не модифицируя метод, невозможно, он остановится на первой же вещи, что удовлетворяет условию. Впрочем, можно пройтись несколько раз или добавить «на бумажку записываются все верные ответы, но работа продолжается до 9999» или что-то в этом духе.
Второе, идея-то в любом случае превосходна. Что может быть совершеннее компьютера, который делает одну операцию в каждый из бесконечного числа вселенных? Он не тратит время на работу (его можно не оптимизировать), он может производить любые вычисления, не расходуя энергии, и так далее.
Третье – особенно, вероятно, этот момент понравился апологетам стабильных временных циклов с нулевым циклом – представлять себе, что могло заставить Гарри написать «не шути со временем» с самого начала – то ещё удовольствие.