Чота тупанул, не заметил, что луны-то нет вообще.
><

> Я не могу использовать слово "месяц" в основном повествовании и обычной речи героев. "Лунные циклы" тоже. Приливы и отливы, некоторые фолклерные элементы и словесные обороты также закрыты. Всё это объясняется тем, что я решила разрушить Луну и сделать Кольца, которые в плоскоземельном видении выглядят как Небесный Мост.

А чо приливы-то. Солнце же.

> Как и чем ещё можно обозначить следующую после года и квартала единицу?

Скорее всего, если Луны нет, то она будет производиться от удобных делителей длины года или небольших множителей N-дневки. Ну и всякую нумерологию с религией забывать не стоит, типа любви к определенным числам и их сочетаниям.
Т.е. в нашем 365-дневном году будет, например, десять 36/37дневных *месяцев, в каждом из которых по шесть шестидневных *недель, потому что квадраты - это круто.
И иерархия будет такой: сутки, *неделя (трудовой/торговый цикл), *неделя недель (месяц) с дополнительным днем или нет, двойной месяц (примерно натягивается на сезон, опять же, пять штук, как пять пальцев), год.
Или внезапно толком ничего не изменится, потому что уж больно удобно делить на 12. Будет декада (из двух пятидневок), *месяц в три декады, и год из двенадцати месяцев плюс пять-шесть дней.

И не забывайте, что во все может цинично вмешаться религия. В доколумбовой центральной америке использовали совершенно ортогональный любой реальности 260-дневный ритуальный цикл, и никакая астрономия их не смущала
(Кстати, они же били 365-дневку на 18*20+5, тоже перспективно для безлунного календаря)

А у жителей этого мира всегда не было Луны или когда-то была, а потом разрушилась? Если второе, то они могут "по инерции" пользоваться лунноориентированными названиями.
Если же первое... самое простое, что приходит в голову - ориентироваться по Солнцу (оно, надеюсь, никуда не денется?). Солнцестояния, равноденствия и так далее. См. в Википедии "Колесо года". Промежуток получается большой - месяца полтора - но если уровень развития не очень высокий, то сгодится. Потом можно точнее прикинуть, сколько именно дней, и на основании этого разбить "месяцы" (8 промежутков между праздниками) на более мелкие периоды, их назвать "седмицы", "шестёрки", ещё как-то, чтоб указывало на продолжительность такой "недели".