Он совершеннейший псих, и когда что-то случается, то тут же выходит из себя.

Он совершеннейший псих, и когда что-то случается — тут же выходит из себя.

Он совершеннейший псих, и когда что-то случается, то он тут же выходит из себя.

Однако есть и дополнение к правилу, позволяющее присоединительные кострукции не закрывать справа запятой, но оно зыбкое.

А вот еще у меня возник вопрос: в вашей последней ссылке и в самом примере с психом в предложении только одно подлежащее, но при этом это же предложение можно рассматривать как сложноподчиненное. Мне казалось, это может быть только в таком случае:
Он совершеннейший псих, и когда что-то случается, то он тут же выходит из себя.
В противном случае я всегда думал, что это одно подлежащее и два однородных сказуемых, а между ними просто оборот вставлен. Без вариантов. Я неправильно понимаю СПП, получается?

когда что-то случается, то (он) тут же выходит из себя

простое предложение [подлежащее1+сказуемое]
, и
сложноподч. предл [когда подлежащее2+сказуемое, то (подлежащее3) сказуемое]

А что за дополнение, почему зыбкое?

Если присоединительная конструкция тесно связана по смыслу с последующей частью, от которой в произношении не отделяется паузой, то она может не обособляться, а только отделяться запятой от предшествующей части предложения: Это называется «экономический кризис», и трудно понять, как вывернутся, да и вывернутся ли предприниматели из этой петли (газ.); Канадская нефть приносит прибыль иностранным, главным образом американским монополиям; По целым дням, а нередко и ночью велась перестрелка с обеих сторон; Поздно теперь, да и не к чему возвращаться к этому вопросу; При проведении подобных сложных экспериментов трудно, да и невозможно избежать отдельных ошибок.

Выбор пунктуации может зависеть от конструкции предложения; ср.: В этом предложении, да и в двух соседних, сказуемое выражено краткой формой прилагательного (присоединительный оборот выделяется запятыми). — В этом, да и в двух соседних предложениях сказуемое выражено краткой формой прилагательного (нельзя выделить оборот да и в двух соседних, так как нарушится связь между определением и определяемым словом — получится: в этом… предложениях).

Нам следует сделать это как можно скорее, потому что чем быстрее мы закончим, - тем выше шансы на успех.

Я подозревал, парнишка сам заварил эту кашу, возможно, для того, чтобы продвинуться вверх, но скорее для того, чтобы развеять скуку.

Еле слышно, Гера шепнул ей: "На кухне шашлык".