Сейчас же все больничные электронные. Позвоните в техподдержку от кого вы СМСку получали и выясните, что случилось.

Передайте электронный номер больничного с госуслуг. Что-то такое.

Когда мне сутки в ГУ не приходило оповещение об открытии больничного, я звонила в регистратуру поликлиники. Врач не успевал все делать и заводил в систему с опозданием. Но открывался больничный той датой, когда был вызов.
Думаю, вы можете тоже позвонить в регистратуру. Полагаю, что в таких ситуациях больничный закроют в системе задним числом (если это еще не сделано).

И про сообщить номер больничного в бухгалтерию - дельная мысль. У нас на работе было обязательным - когда первый раз оформил электронный больничный лист - сообщить его номер в кадры. Вроде первый раз там вручную что-то делают, а последующие уже автоматом.

Идёте сюда: https://lk.fss.ru/ и делаете тык в "кабинет получателя услуг".
Там будет список больничных листов, статус должен быть, что больничный закрыт.
Если всё так, то просто дать номер больничного работодателю.
Если больничный ещё открыт, позвонить в медучреждение, и поругаться. Если ситуация не будет исправлена, сходить ножками к зав.отделения, там сидят более понимающие люди (если что, ФСС за такие залёты будет дрючить всех).

Вышеперечисленное справедливо для России, в Москве отдельное княжество, так что просто идите на приём к Собянину.