Буриме, это называется буриме (один из вариантов).

Мы так по предложению в универе с друзьями на парах писали гейский фанфик про препода.
До сих пор храню эти рукописи, нереальная ржомба

Нечто похожее мы делали на самиздате. Только каждый писал небольшую сценку/отрывок.
Мы не договаривались о сюжете, просто каждый писал что хочет. Поэтому было очень весело - сюжет был абсолютно непредсказуемым.
Рекомендую пробовать именно в таком формате. Никто никого не ждёт, и потому нет тягомотины. Не нужно обсуждений и долгих согласований. Текст пишется очень быстро, выкладывается в обсуждение, кто-то вдохновляется и пишет ещё кусок.

Нет.