Тейлор тут не поможет.

"А вот у фунцкии sin(1/x)" - во-первых, функции, во-вторых, производная = -cos(x)/x^2, от 0 до 1 функция строго убывает, следовательно, имеет максимум 2 экстремума на этом промежутке - справа и слева. Но слева функция у нас не определена. Справа же имеем sin(1) > sin(1/(1+a)), притом sin(1) < sin(1(1-a)), то есть, функция убывает слева от 1 и убывает справа от 1 - это не экстремум. Итого: на полуинтервале (0;1] функция sin(1/x) не имеет экстремумов. Лол.