Популярное- Новинки
- Горячие новинки
- Аудиофанфики
- Все фанфики
- Рекомендации
- Коллекции
- Заявки
- Конкурсы
- Фанфик в файл
- Таблица переводов
- 0
Включить тёмную тему - Справка по сайту
Популярное Включить тёмную тему
 #математика #вопрос #моё
А теперь забудем обо всех этих, безусловно, любопытных, но малозначимых блоготёрок и вернёмся к сути. Известно, что x таково, что: ln(x) + 2 + (tg(x))^2 = 0. Определить, какой знак имеет следующее выражение (которое, как заметно, является его первообразной): x*ln(x) + tg(x) Вроде бы, логарифм убывает очень быстро по мере стремления x к нулю, поэтому можно сказать, что x ~ e^-2, а точнее, чуть меньше e^-2 - ровно в той степени, чтобы компенсировать двойку и (tg(e^-2 - a))^2, который ~ 0. Но это не даёт мне практически ничего, т.к. число -2*(e^-2) + tg(e^-2) ~ 0, т.е., близко к нулю, но, чорт побери, с какой стороны? А с какой стороны точное число (e^-2 - a)*ln(e^-2 - a) + tg(e^-2 - a)? Непонятно. А мне желательно строгое доказательство. Как вообще сравниваются такие числа, когда берутся какие-то две неэлементарные функции от "некрасивых" значений? Без понятия. А ответ весьма интересен. В тред призываются: Cheery Cherry, София Риддл, а также все желающие. 15 января 2016
|
 |
fathom
|
|
Что-то такое вышло:
Рассмотрим f(x) = ln(x) + 2 + tg^2(x), x0 = e^2-a f'(x) = 1/x + 2*tg(x)/cos^2(x) f'(x) > 0 когда x принадлежит (0, pi/2) f(x0) = 0, f'(x0) > 0 => x0 - лок минимум для F, F убывает от 0 до x0, возрастает от x0 до +бесконечности Рассмотрим F(x) = x*ln(x) + tg(x) При x->+0: x*ln(x)->0, tg(x)->0, значит F(x)->0. Тогда F(x0) < 0. |
|
|
|
|
fathom, все упомянутые вами рассуждения были проведены в рамках более общей задачи. Что касается x*ln(x) + tg(x). "Тогда F(x0) < 0." - откуда вы вообще взяли это? На строчку выше вы не про x0 рассуждаете, а просто про 0:) Конкретно про x0 мне и неясно же, ну!
Anicus, :) |
|
|
fathom
|
|
Матемаг
Как по мне, дак я решил точно ту же задачу: найти знак функции F(x) в точке экстремума. "Тогда F(x0) < 0." - откуда вы вообще взяли это? На строчку выше вы не про x0 рассуждаете, а просто про 0:) Конкретно про x0 мне и неясно же, ну! Из условий, что F(x0) - минимум, и то, что F(x->+0)->0. То есть функция убывает от ~0 до F(x0), то есть становится < 0 |
|
|
|
|
Да оно всё понятно, но!
"То есть функция убывает от ~0 до F(x0), то есть становится < 0" - эмн, што? С какого бы? Функция x^2 + 0,0001 всюду больше 0. Тем не менее, она убывает до x = 0 и возрастает после x = 0. При этом в нуле она = 0,0001 > 0. То, что функция убывает до точки не означает, что она в этой точке отрицательна. А ведь я могу взять и x^2 + 10000000000000000000000000, например:) |
|
|
fathom
|
|
То, что функция убывает до точки не означает, что она в этой точке отрицательна. Я ведь этого нигде не говорю. Я говорю что она убывает от 0 (0 как значение функции в точке x=0). Куда ей убывать еще, как не в отрицательные? Если проводить аналогию с x^2+0,0001, то это как с точкой x=-1 и значение при нем 1,0001. Функция убывает до x=0, значит в точке x=0 значение будет меньше, чем в x=-1. 1 |
|
|
|
|
Хмн, теперь дошло. Да, тогда так, от нуля убывает до x0, от x0 уже уходит в выше до положительных величин, f(x0) < 0.
|
|
 |
|
|
Хм... Немного туплю, но производная от тангенса разве не 1/cos^2(x)?
|
|
|
|
|
И да, как решается это уравнение? (ln(x) + 2 + (tg(x))^2 = 0)
|
|
|
|
|
1/cos^2(x) = 1 + (tg(x))^2. Разложи 1 в числителе по основному тригонометрическому и подели.
"И да, как решается это уравнение? (ln(x) + 2 + (tg(x))^2 = 0)" - никак. Оно не решается. Только вычматом можно приблизительное значение вычислить. |
|
|
|
|
"Разложи 1 в числителе по основному тригонометрическому и подели." - разобрался уже) Отвык за две недели)
"никак. Оно не решается. Только вычматом можно приблизительное значение вычислить." - Жаль. Все-таки заинтересовало. |
|
|
|
|
Даже более простые типа cos(x) = x не решаются, что уж говорить о таких.
|
|
|
|
|
Матемаг, ну, приблизительно посчитать точно можно...
|
|
|
|
|
Кстати, а в какой задаче тебе это встретилось?
|
|
|
|
|
"приблизительно посчитать точно" - лол, нигде не видишь противоречия? Я говорю о том, что аналитического решения не существует. Это ещё хорошо, если что у таких уравнений вообще можно что-то вычислить. Есть ведь и невычислимые числа тоже.
Да фигня одна, посчитать число экстремумов функции x^sin(x) в полуинтервале (0;1]. |
|
|
|
|
Матемаг, " лол, нигде не видишь противоречия?" - я имел в виду, довольно точное приближение посчитать возможно, наиболее очевидный способ - многочлен Тейлора или что-то подобное. Но да, как точно вычислить я не знаю.
"Да фигня одна, посчитать число экстремумов функции x^sin(x) в полуинтервале (0;1]." - один) А вот у фунцкии sin(1/x)... ) |
|
|
|
|
Тейлор тут не поможет.
"А вот у фунцкии sin(1/x)" - во-первых, функции, во-вторых, производная = -cos(x)/x^2, от 0 до 1 функция строго убывает, следовательно, имеет максимум 2 экстремума на этом промежутке - справа и слева. Но слева функция у нас не определена. Справа же имеем sin(1) > sin(1/(1+a)), притом sin(1) < sin(1(1-a)), то есть, функция убывает слева от 1 и убывает справа от 1 - это не экстремум. Итого: на полуинтервале (0;1] функция sin(1/x) не имеет экстремумов. Лол. |
|
 |
|
|
|
|
София, а, у синуса забыл взять. Влом пересчитывать. Хотя с синусом там и может быть экстремум в 1, но влом проверять.
|
|
|
|
|
Матемаг, "Тейлор тут не поможет." - в случае с cos(x) = x помог)) 1 - (x^2)/2 = x там с точностью до десятых будет)
"Хотя с синусом там и может быть экстремум в 1, но влом проверять." - не должен. И не будет. f(x) = sin(1/x), f'(x) = -cos(1/x)/x^2, cos(1/x) = 0, 1/x = pi/2+k*pi, k принадлежит Z, x = 2/(pi*(k+1)), а так как k = 1, 2, 3, ... и до бесконечности... |
|
|
|
|
Я люблю некропостить.
Вдруг всё же кто-то прочитает... Что мешает напрямую оценить значение выражения? Если известно предполагаемое решение. e^2 довольно мало, около нуля. Отличие точного значения от e^-2 тоже мало. При положительных околонулевых аргументах тангенс положителен и эквивалентен аргументу. Так как искомый икс меньше e^-2, то x*ln(x) < -2*(e^-2) При этом, 2*(e^-2) > (e^-2) |x*ln(x)| > |-2*(e^2)| > |e^-2| > |tg(x)| Собственно, всё. Икс на логарифм меньше чем тангенс от икса. |
|
Включить тёмную тему
VKontakte
WhatsApp
Telegram
Отключить рекламу
