Да, мне тоже трудно подбирать тут слова.

Хз, я не математик, я вроде как физик. По крайней мере изучал в основном именно физику. И именно физические соображения говорят, что если что-то крякает как утка, выглядит как утка и так далее, то это и есть утка. Логарифмическая функция от доли [не]различимых состояний - остаётся таковой при любом физическом описании реальности. Если мы запишем уравнения Максвелла в новых переменных, то форма уравнений не поменяется. Они будут связаны с реальностью так же, как были связаны "исходные". То, что там будет соответствовать электрическому и магнитному полям - будет соответствовать тем же электрическому и магнитному полям.
Если так нравятся математические аналогии: переход от базиса к базису не меняет сами векторы. Или даже тензоры. Мы по-прежнему описываем их же. Поле Е в СИ и поле Е в СГС - имеют разные размерности, но это одно и то же поле!
Постоянная Больцмана нужна лишь для численного выражения одних величин через другие. Температура не перестанет играть роль температуры===быть температурой из-за того, что мы будем называть другие её численные значения и приписывать другую размерность.

Размерности - это штука, которая покажет, как численные значения физических величин пересчитаются относительно старых, если мы пошевелим какой-нибудь эталон. Выбором эталонов можно добиться, чтобы некоторые коэффициенты стали равны единице. Или приравнять какие-нибудь коэффициенты к единице и получить соответствующий набор эталонов.

Допустим, мы изменили эталон длины в x раз, а эталон времени в y раз. Допустим, что есть физическая величина, в размерность которой длина входит в степени n и время в степени m. Тогда численное значение этой величины(==А в старой системе) изменится в x^-n * y^-m раз при выражении через новые эталоны. Теперь мы захотели подкрутить эталон времени так, чтобы численное значение нашей физической величины стало равно единице в новой системе. Очевидно, что нужно относительно y решить уравнение А * x^-n * y^-m == 1.
Простой пример: давайте выражать длину в дюймах и давайте сделаем так, чтобы скорость света равнялась единице. Тогда x=0.0254, 3*10^8 * x^-1 * y == 1 => y == 0.0254/c ~= 0.85*10^-10 - новый эталон времени. И в принципе понятно: захотели уменьшить численное значение скорости на 8 порядков, при этом уменьшили эталон длины на 2 порядка, получили, что нужно подогнать эталон времени на 10 порядков.

Ещё одно упражнение. Изменить систему единиц СИ так, чтобы постоянная Больцмана равнялась единице.
Ответ: изменить эталон температуры в y = ~1.38*10^23 раз.

Думаю, с вышенаписанным никто спорить не будет.

Теперь обратимся к термодинамике (тут прошу не пинать, пишу по памяти с первого курса). Проведём мысленный эксперимент. Возьмём n штук идеального газа, сожмём до объема V. По мере остывания газа смотрим на давление и температуру. Из PV=nkT, узнаём связь Т с PV/n. Она, о чудо, оказывается прямой, то есть равной единице! (Такая вот у нас удачная шкала оказалась).
Теперь строим нашу термодинамику. Раз уж наш прибор показывает некую величину Т, которая совпадает с PV/n, то разумно приписать этой величине ту же размерность. Почему? Ну она же показывает, буквально, PV/n. У PV/n размерность - джоули. Значит и наш показометр показывает джоули, а не какую-то там новую величину. Окей. Но мы-то знаем, что по смыслу PV/n - это энергия на один атом. Теперь мы будем выводить нашу науку термодинамику исходя из того, что наша T=PV/n - это та же энергия. Соответственно когда мы будем вводить энтропию простой равновесной системы (см. свою же ссылку на вики) энтропия получится безразмерной!
Всё.
А теперь вопрос. Наша альтернативно-историческая термодинамика всё-таки будет отличаться от нашей привычной, с которой сделали как я сказал, или нет?

Мой ответ - нет.

Размерности - это инструмент численного согласования. Наших абстракций, показаний наших показометров, показаний с других показометров...
Нет у них иного смысла, чем показывать процедуру физического сопоставления эталонов с показаниями приборов.

А ведь измеряторы в нашем мире и в том альтисторическом - те же самые(вплоть до винтиков). Разные только сами показометры - читай, шкалы из чиселок на циферблатах.